Aufgaben zu indirekt proportionalen Zuordnungen

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Um ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $24 {cm}^{2}$ zu erhalten, kannst du die Länge (x in cm) und Breite (y in cm) der Seiten des Rechtecks unterschiedlich wählen.
a) Bestimme alle ganzzahligen Paare aus Länge und Breite, die ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $24 {cm}^{2}$ ergeben. Trage die Wertepaare in eine Wertetabelle ein.
b) Stelle mit Hilfe der Tabelle den Zusammenhang der beiden Größen graphisch dar.
c) Bestimme nun den zum Graphen zugehörigen Funktionsterm. Vewende dazu die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks
a) Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des Rechtecks $24 {cm}^{2}$ beträgt. Außerdem kannst du den Flächeninhalt eines Rechteck mit folgender Formel bestimmen: $A_{Rechteck} = Länge \cdot Breite = x \cdot y$ .
In dieser Aufgabe musst du also natürliche Zahlen finden, die miteinander multipliziert 24 ergeben. Es gibt folgende acht verschiedene Möglichkeiten:
x in cm
1
2
3
4
6
8
12
24
y in cm
24
12
8
6
4
3
2
1
Anhand dieses Applets kannst du dir die Lösung auch visuell bestätigen lassen.
b) Mithilfe der Tabelle der Teilaufgabe a) kannst du diese Aufgabe lösen. Dazu betrachtet man die Tabelle als eine Wertetabelle und die Seitenpaare als Punkte mit einem x und einem y- Wert. Nun kannst du die Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und erhältst folgende graphische Darstellung:
Dieser Graph entspricht einer Hyperbel.
Zusatz:
Hier kannst mit Hilfe des Applets die Kombination des Rechtecks mit der Hyperbel sehen. Wenn du bei der Leiste unten weiter klickst, siehst du die Punkte und kannst die Hyperbel zeichnen, indem du den Punkt B bewegst.
c) Um den zugehörigen Funktionsterm des Graphens zu finden, ist die Betrachtung der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks nützlich.
$A_{Rechteck} = Länge \cdot Breite = x \cdot y$
Du kannst nun für den Flächeninhalt $A_{Rechteck}$ den Wert aus der Angabe einsetzen.
$24 {cm}^{2} = x \cdot y$
Jetzt kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst den zugehörigen Funktionsterm:
$y = \frac{24 {cm}^{2}}{x}$
Der Zusammenhang zwischen der Länge (x in cm) und der Breite (y in cm) eines Rechtecks mit einem Flächeninhalt von $24 {cm}^{2}$ wird mit folgendem Funktionsterm beschrieben:
$f (x) = \frac{24}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
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Um den Zusammenhang zwischen der Grundlinie und der zugehörigen Höhe eines Dreiecks mit Flächeninhalt $6 {cm}^{2}$ darzustellen, kannst du die Länge (x in cm) der Grundlinie und die Höhe (y in cm) unterschiedlich wählen.
a) Bestimme alle ganzzahligen Paare aus Grundlinie (Grundseite) und zugehörige Höhe, die ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von $6 {cm}^{2}$ ergeben. Trage die Werte in eine Tabelle ein.
b) Stelle mit Hilfe der Tabelle den Zusammenhang zwischen Grundseite und Höhe dar. Warum darf man die Punkte verbinden, wenn auch andere als ganzzahlige Paare zugelassen werden?
c) Bestimme nun die zugehörige Funktion des Graphen. Betrachte dazu die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
a) Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $6 {cm}^{2}$ beträgt. Außerdem kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel bestimmen: $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Du kannst nun den Wert für den Flächeninhalt einsetzen und so umformen, dass du auf der einen Seite nur noch die Grundlinie und die zugehörige Höhe stehen hast.
$6 {cm}^{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ $\cdot 2$
$12 {cm}^{2}$ $=$ $g \cdot h$
Mit Hilfe dieser Umformung musst du also natürliche Zahlen für die Länge der Grundlinie $g$ (x in cm) und Höhe $h$ (y in cm) finden, sodass sie multipliziert 12 ergeben. Dann hast du Zahlenpaare gefunden, die ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von $6 {cm}^{2}$ ergeben. Es gibt 6 solcher Paare.
x in cm
1
2
3
4
6
12
y in cm
12
6
4
3
2
1
b) Mithilfe der Tabelle der Teilaufgabe a) kannst du diese Aufgabe lösen. Dazu betrachtet man die Tabelle als eine Wertetabelle und die Seitenpaare als Punkte mit einem x und einem y- Wert. Nun kannst du die Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und erhältst folgende graphische Darstellung:
Dieser Graph entspricht einer Hyperbel. Die Punkte darf man verbinden, weil jeder (positive) reelle Wert für die Grundseite und die Höhe zulässig sind und nicht nur die ganzzahligen Paare.
c) Um den zugehörigen Funktionsterm des Graphens zu finden, ist die Betrachtung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks nützlich.
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Du kannst nun für den Flächeninhalt $A_{Dreieck}$ den Wert aus der Angabe einsetzen und $g$ und $h$ durch $x$ und $y$ ersetzen.
$6 {cm}^{2} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y$
Jetzt kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst den zugehörigen Funktionsterm:
$\frac{1}{2} \cdot x \cdot y$ $=$ $6 {cm}^{2}$ $\cdot 2$
$x \cdot y$ $=$ $12 {cm}^{2}$ $: x$
$y$ $=$ $\frac{12 {cm}^{2}}{x}$
Der Zusammenhang zwischen der Grundlinie $g$ (x in cm) und der zugehörigen Höhe $h$ (y in cm) eines Dreiecks mit einem Flächeninhalt von $6 {cm}^{2}$ wird mit folgender Funktion beschrieben:
$f : f (x) = \frac{12}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
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Ordne jedem der Funktionsgraphen die passende Funktion zu.
$f : f (x) = x; D_{f} = ℚ$
$f : f (x) = \frac{2}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
$f : f (x) = - \frac{2}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
$f : f (x) = \frac{0,3}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
$f : f (x) = - 5 x; D_{f} = ℚ$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
$𝐟 (𝐱) = 𝐱 \Rightarrow 𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱 \Rightarrow 𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟎,𝟑}{𝐱} \Rightarrow 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = 𝐱 \Rightarrow 𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Bei der ersten Funktion $f (x) = x$ handelt es sich um eine Funktion der Form $f (x) = m \cdot x + t$ , wobei in diesem Fall die Steigung $m = 1$ und der y-Achsenabschnitt $t = 0$ ist. Den Graphen einer Funktion solcher Form nennt man eine Gerade.
Mit diesen Informationen weißt du auch, dass es sich um eine steigende Gerade handelt und demnach kannst die Funktion $𝐟 (𝐱) = 𝐱$ dem $𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐧$ Graphen zuordnen.
Überprüfen kannst du dies, indem du einen Punkt auf dem Graphen abliest und diesen in die Funktion einsetzt.
$P (0 ∣ 0) \Rightarrow f (0) = 1 \cdot 0 + 0 = 0$
$𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱 \Rightarrow 𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Ähnlich wie bei der vorherigen Funktion handelt es sich bei der letzten Funktion $f (x) = - 5 x$ um eine lineare Funktion mit der Steigung $m = - 5$ und dem y-Achsenabschnitt $t = 0$ .
Die Steigung dieser Funktion ist negativ und somit handelt es sich um eine fallende Gerade. Also kannst du die Funktion $𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱$ dem $𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐧$ Graphen zuordnen.
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Aus der Form der Funktion $f (x) = \frac{2}{x}$ kannst du entnehmen, dass es sich bei dem Graphen dieser Funktion um eine Hyperbel handelt mit der positiven Öffnung $a = 2$ . Das heißt der Graph befindet sich im 1. und 3. Quadranten.
Also hast du von den 5 Graphen 2 (blau und lila), die in Frage kommen würden. Um herauszufinden welcher dieser Graphen die richtige ist, kannst du einen günstigen x-Wert in die Funktion einsetzten und schauen, welcher y-Wert rauskommt. Anschließend kannst du überprüfen auf welchem Graph sich der Punkt befindet.
Beispiel: $𝐱 = 𝟐$
$f (2) = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow P (2 | 1) \Rightarrow Der Punkt liegt auf dem 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 Graphen.$
$𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Auch hier handelt es sich um eine Hyperbel. Dieses Mal besitzt die Hyperbel eine negative Öffnung $a = - 2$ . Das heißt der Graph befindet sich im 2. und 4. Quadranten. Somit kommt für die Funktion $𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱}$ nur der $𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞$ Graph in Frage.
Die Überlegung kannst du überprüfen, indem du einen günstigen und gut ablesbaren Punkten vom Graphen entnimmst und den in die Funktion einsetzt.
$P (2 ∣ - 1) \Rightarrow f (2) = - \frac{2}{2} = - 1$
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟎,𝟑}{𝐱} \Rightarrow 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Bei der Funktion $f (x) = \frac{0,3}{x}$ handelt es sich ebenfalls um eine Hyperbel mit der positiven Öffnung $a = 0,3$ . Also befindet sich der Graph im 1. und 3. Quadranten. Somit ist es entweder der lila Graph oder der blaue Graph.Um herauszufinden welcher dieser Graphen die richtige ist, kannst du einen günstigen x-Wert in die Funktion einsetzten und schauen, welcher y-Wert rauskommt. Anschließend kannst du überprüfen auf welchem Graph sich der Punkt befindet.
Beispiel: $𝐱 = 𝟐$
$f (2) = \frac{0,3}{2} = 0,15 \Rightarrow P (2 | 0,15) \Rightarrow Der Punkt liegt auf dem 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐧 Graphen.$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x}$ entspricht einer Hyperbel. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.